Lời giải:
a) Ta có:
$BC = BH + CH$
$\Rightarrow CH = BC - BH = 13 - 4 = 9$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$+)\quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow AB = \sqrt{BH.BC} = \sqrt{4.13} = 2\sqrt{13}$
$+)\quad AC^2 = CH.BC$
$\Rightarrow AC = \sqrt{CH.BC} = \sqrt{9.13} = 3\sqrt{13}$
$+)\quad AH^2 = BH.CH$
$\Rightarrow AH = \sqrt{BH.CH} = \sqrt{4.9} = 6$
b) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow AM = MB = MC = \dfrac12BC = \dfrac{13}{2}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AHM$ vuông tại $H$ đường cao $HD$ ta được:
$\quad AH^2 = AD.AM$
$\Leftrightarrow AD = \dfrac{AH^2}{AM} = \dfrac{6^2}{\dfrac{13}{2}}$
$\Leftrightarrow AD = \dfrac{72}{13}$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AHM$ vuông tại $H$ đường cao $HD$ ta được:
$\quad AH^2 = AD.AM$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$ đường cao $HE$ ta được:
$\quad AH^2 = AE.AC$
Do đó:
$AE.AC = AD.AM\quad (=AH^2)$
$\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AM} = \dfrac{AD}{AC}$
Xét $\triangle AED$ và $\triangle AMC$ có:
$\begin{cases}\dfrac{AE}{AM} = \dfrac{AD}{AC}\quad (cmt)\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle AED\backsim \triangle AMC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng)
hay $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$
