Đáp án:
\(\dfrac{8}{9}\)
Giải thích các bước giải:
\(AD\) là tia phân giác của góc \(A\) nên :
\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{2}{3}\)
Ta có :
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)
\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAC}\))
Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{2} = \dfrac{{HA}}{3}\) \( \Rightarrow HB = 2k;HA = 3k\)
Theo hệ thức lượng của tam giác vuông, ta có :
\(A{H^2} = HB.HC\)
\( \Rightarrow HC = \dfrac{{A{H^2}}}{{HB}} = \dfrac{{9{k^2}}}{{4k}} = \dfrac{{9k}}{4}(k \ne 0)\)
Vậy \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = 2k:\dfrac{{9k}}{4} = \dfrac{{8k}}{{9k}} = \dfrac{8}{9}\)
