a) Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$ có:
$\widehat{A} = \widehat{H} = 90^o$
$\widehat{B}:$ góc chung
Do đó $ΔABC \sim ΔHBA \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = BC.BH$
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\, cm$
Áp dụng tính chất đưởng phân giác, ta được:
$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{AC - AD}$
$\Leftrightarrow AB(AC - AD) = AD.BC$
$\Leftrightarrow AD = \dfrac{AB.AC}{AB + BC} = \dfrac{9.12}{9 + 15} = \dfrac{9}{2}\, cm$
$\Rightarrow DC = AC - AD = 12 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{15}{2}\, cm$
c) Xét $ΔABD$ vuông tại $A$ có:
$\widehat{ADB} = \widehat{ADE} = 90^o - \widehat{ABD}$
mà $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \widehat{EBH}\quad (gt)$
nên $\widehat{ADE} = 90^o - \widehat{EBH}$
Xét $ΔEBH$ vuông tại $H$ có:
$\widehat{HEB} = 90^o - \widehat{EBH}$
mà $\widehat{HEB} = \widehat{AED}$ (đối đỉnh)
nên $\widehat{AED} = 90^o - \widehat{EBH}$
Do đó: $\widehat{ADE} = \widehat{AED}$
$\Rightarrow ΔAED$ cân tại $A$
Ta lại có: $I$ là trung điểm cạnh đáy $DE$
$\Rightarrow AI\perp DE$
Xét $ΔABI$ và $ΔDBA$ có:
$\widehat{I} = \widehat{A} = 90^o$
$\widehat{B}:$ góc chung
Do đó $ΔABI \sim ΔDBA \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BI}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = BD.BI$
mà $AB^2 = BC.BH$ (câu a)
nên $BD.BI = BC.BH$
$\Rightarrow \dfrac{BH}{BD} = \dfrac{BI}{BC}$
Xét $ΔBIH$ và $ΔBCD$ có:
$\widehat{B}:$ góc chung
$\dfrac{BH}{BD} = \dfrac{BI}{BC} \quad (cmt)$
Do đó $ΔBIH\sim ΔBCD\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{BIH} = \widehat{BCD}$
$\Rightarrow \widehat{BIH} = \widehat{ACB}$
