Sửa đề:
$\dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{EF^2}$
Ta có: $D$ là trung điểm cạnh huyền $AB$ $(gt)$
$\Rightarrow DA = DH$
$E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ $(gt)$
$\Rightarrow EA = EH$
$\Rightarrow DE$ là trung trực của $AH$
$\Rightarrow DE\perp AH$
Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AH$
$\Rightarrow EI\perp AH$
$\Rightarrow \widehat{I} = 90^o$
Mặt khác, do $DE$ là trung trực của $AH$
$\Rightarrow ΔDAE = ΔDHE$
$\Rightarrow \widehat{DHE} = \widehat{DAE} = 90^o$
Ta có:
$AE = EC$ $(gt)$
$FH = FC$ $(gt)$
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình
$\Rightarrow EF//AH$
$\Rightarrow EF \perp BC$
$\Rightarrow \widehat{F} = 90^o$
Xét tứ giác $HEIF$ có:
$\widehat{H} = \widehat{I} = \widehat{F} =90^o$
Do đó $HEIF$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow EF = HI$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔDHE$ vuông tại $H$ đường cao $HI$, ta được:
$\dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{EF^2} = \dfrac{1}{HD^2} + \dfrac{1}{HE^2}$
