`a)` `AB=6cm; AC=8cm`
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>1/{AH^2}=1/{AB^2}+1/{AC^2}=1/{6^2}+1/{8^2}={25}/{576}`
`=>AH^2={576}/{25}`
`=>AH=\sqrt{{576}/{25}}={24}/5=4,8cm`
Vậy `AH=4,8cm`
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=HB.BC`
`\qquad AC^2=CH.BC`
`=>{AB^2}/{AC^2}={HB.BC}/{CH.BC}={HB}/{CH}`
Vậy `{AB^2}/{AC^2}={HB}/{CH}` (đpcm)
$\\$
`c)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$
`=>BH^2=BE.AB`
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AC$
`=>CH^2=CF.AC`
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB.AC=AH.BC`
`\qquad AH^2=BH.CH`
`=>(AH^2)^2=BH^2 .CH^2=BE.AB.CF.AC`
`=>AH^4=AB.AC.BE.CF`
`=>AH^3 . AH=AH.BC.BE.CF`
(vì $AB.AC=AH.BC)$
`=>AH^3=BC.BE.CF`
Vậy `BC.BE.CF=AH^3` (đpcm)
