a) Ta có:
$I$ đối xứng $H$ qua $AB$
$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HI$
$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HAI}$
$\Rightarrow \widehat{HAI}=2\widehat{HAB}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{HAK} = 2\widehat{HAC}$
Do đó:
$\widehat{HAI} + \widehat{HAK} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) = 2\widehat{A} = 180^o$
$\Rightarrow I, A, K$ thẳng hàng
b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MA = MB = MC$
$\Rightarrow ∆MAB;\, ∆MAC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ $(1)$
Ta lại có:
$AB$ là trung trực $HI$
$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HBI}$
$\Rightarrow \widehat{HBA} = \widehat{IBA}$
Hay $\widehat{MBA} = \widehat{IBA}$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{IBA}$
$\Rightarrow BI//MA$
Chứng minh tương tự, ta được:
$CK//MA$
$\Rightarrow BI//CK\quad (//MA)$
$\Rightarrow BIKC$ là hình thang
c) Ta có:
$AB$ là trung trực $HI$
$\Rightarrow AI = AH$
$AC$ là trung trực $HK$
$\Rightarrow AK = AH$
$\Rightarrow AI + AK = 2AH$
$\Rightarrow IK = 2AH$
