Xét tứ giác AIHK có $\widehat{HIA} = \widehat{IAK} = \widehat{AKH} = 90^{\circ}$
Do đó tứ giác AIHK là hình chữ nhật.
Xét tam giác vuông BIH có
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{IH}{IB}$
Lại có
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB}$
Do đó
$BI = \dfrac{IH}{\tan(\widehat{B})} = \dfrac{IH.AB}{AC}$
Lại có tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên $IH = AK$. Vậy
$BI = \dfrac{AK.AB}{AC}$
CMTT ta cũng có
$CK = \dfrac{AI.AC}{AB}$
Vậy
$\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AK.AB}{AC} .\dfrac{AB}{AI.AC}$
$= \dfrac{AB^2.AK}{AC^2.AI}$
$= \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AK}{AI}$ (1)
Xét tam giác AHC vuông tại H, $HK \perp AC$. Áp dụng hệ thức lượng ta có
$AH^2 = AK.AC$ (2)
Tương tự vs tam giác AHB, ta có
$AH^2 = AI.AB$ (3)
Từ (2), (3) ta suy ra
$AK.AC = AI.AB$
$<-> \dfrac{AK}{AI} = \dfrac{AB}{AC}$
Thay vào (1) ta suy ra
$\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AK}{AI}$
$= \dfrac{AB^2}{AC^2} . \dfrac{AB}{AC}$
$= \dfrac{AB^3}{AC^3}$
Vậy $\dfrac{BI}{CK} = \dfrac{AB^3}{AC^3}$.
