Gọi \(M,N\) là giao điểm của \(AJ,AK\) với \(BC,\) ta sẽ chứng minh 5 điểm \(I,J,K,M,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MN\), với \(MN = 2r\)Giải chi tiết:Gọi \(M,N\) là giao điểm của \(AJ,AK\) với \(BC,\) hạ \(ID \bot BC\)Ta có: \(\widehat {BAN} = {90^0} - \widehat {NAC} = {90^0} - \widehat {NAH} = \widehat {BNA} \Rightarrow ABN\) cân tại \(B\)Tương tự \(\Delta ACM\) cân tại \(C\)Do đó, \(IA = IM = IN\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMN \Rightarrow \widehat {MIN} = 2\widehat {MAN} = 2.\frac{{90^\circ }}{2} = 90^\circ \) Suy ra \(\Delta MIN\) vuông tại \(I \Rightarrow MN = 2ID = 2r\) (\(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\))Vì \(CK\) là trung trực của \(AM\)nên \(\widehat {KMC} = \widehat {KAC} = \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {IBC}\)nên \(MK{\rm{ // }}BI\). Mà \(BI\)là trung trực của \(AN\)nên \(MK \bot AN\), tương tự \(NJ \bot AM\).Do đó các điểm \(I,J,K\) nằm trên đườn tròn đường kính \(MN\)có bán kính \(r\)Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IJK\) và đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) có bán kính bằng nhau.
