Xét `∆AHB` và `∆CAB` có:
`\hat{B}` chung
`\hat{AHB}=\hat{BAC}=90^0`
`⇒∆AHB~∆CAB` $(g.g)$
`⇒\frac{AB}{BH}=\frac{CB}{AB}`
`⇒AB^2=BH.CB.`
Xét `∆AHC` và `∆BAC` có:
`\hat{C}` chung
`\hat{AHC}=\hat{BAC}=90^0`
`⇒∆AHC~∆BAC` $(g.g)$
`⇒\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}`
`⇒AC^2=BC.HC.`
Có `∆AHB~∆CHA` ( vì cùng `~∆CAB` )
`⇒\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}`
`⇒AH^2=CH.HB.`
Có: `\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}`
Thay các hệ thức trên, ta được:
`\frac{1}{BH.HC}=\frac{1}{BH.CB}+\frac{1}{BC.HC}`
`⇔\frac{BC}{BH.CB.HC}=\frac{HC}{BH.CB.HC}+\frac{BH}{BC.HC.BH}`
`⇔BC=HC+BH` ( luôn đúng ) (vì `BH \ne 0, CB \ne 0, HC \ne 0 ⇒ BH.CB.HC \ne 0.` )
Vậy `\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}.`
Tham khảo hình:
