Giải thích các bước giải:
1,
Xét hai tam giác \(\Delta BAH\) và \(\Delta BNH\) có:
\(\begin{array}{l}
AH = HN\,\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\
\widehat {BHA} = \widehat {BHN} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\\
BH:\,\,\,chung
\end{array}\)
Suy ra \(\Delta BAH = \Delta BNH\,\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow BA = BN\) (2 cạnh tương ứng)
Tam giác \(BAN\) có \(BA = BN\) nên \(BAN\) là tam giác cân.
2,
Do \(\Delta BAH = \Delta BNH\,\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {NBH}\) (2 góc tương ứng)
Xét hai tam giác \(\Delta BAC\) và \(\Delta BNC\) có:
\(\begin{array}{l}
AB = BN\left( {cmt} \right)\\
\widehat {ABC} = \widehat {NBC}\\
BC:chung
\end{array}\)
Do đó, \(\Delta BAC = \Delta BNC\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BNC} \Rightarrow \widehat {BNC} = 90^\circ \Rightarrow BN \bot NC\)
3,
Xét hai tam giác \(\Delta ABH\) và \(\Delta NMH\) có:
\(\begin{array}{l}
AH = HN\,\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\
\widehat {AHB} = \widehat {MHN} = 90^\circ \,\,\,\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\\
BH = HM\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\
\Rightarrow \Delta ABH = \Delta NMH\,\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {NMH}
\end{array}\)
Mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên \(AB//MN\)
Mặt khác \(AB \bot AC \Rightarrow MN \bot AC\)
4,
Tam giác \(ANC\) có các đường cao \(CH,\,\,MN\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trực tâm của tam giác. Do đó, \(AM \bot NC\).
