a)
Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{BAx}\,\,\,\left( gt \right)$
Mà: $\begin{cases}\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90{}^\circ\\\widehat{BAx}+\widehat{CAy}=90{}\circ\end{cases}$
Nên: $\widehat{CAH}=\widehat{CAy}$
$\to AC$ là tia phân giác $\widehat{HAy}$
b)
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ và $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:
$AB$ là cạnh chung
$\widehat{BAD}=\widehat{BAH}$ ( vì $AB$ là tia phân giác $\widehat{HAx}$ )
$\to \Delta ABD=\Delta ABH$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
$\to AD=AH$ ( hai cạnh tương ứng )
Xét $\Delta ACE$ vuông tại $E$ và $\Delta ACH$ vuông tại $H$, ta có:
$AC$ là cạnh chung
$\widehat{CAE}=\widehat{CAH}$ ( vì $AC$ là tia phân giác $\widehat{HAy}$ )
$\to \Delta ACE=\Delta ACH$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
$\to AE=AH$ ( hai cạnh tương ứng )
Ta có: $\begin{cases}AD=AH\,\,\,\left(cmt\right)\\AE=AH\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$
$\to AD=AE$
$\to A$ là trung điểm của $DE$
c)
Ta có: $\begin{cases}BD=BH\,\,\,\left(\Delta{ABD}=\Delta{ABH}\right)\\CE=CH\,\,\,\left(\Delta{ACE}=\Delta{ACH}\right)\end{cases}$
$\to BD+CE=BH+CH$
$\to BD+CE=BC$
d)
$AD=AH\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta ADH$ cân tại $A$
$\to \widehat{ADH}=\widehat{AHD}$
$AE=AH\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta AEH$ cân tại $A$
$\to \widehat{AEH}=\widehat{AHE}$
Ta có: $\begin{cases}\widehat{ADH}=\widehat{AHD}\,\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{AEH}=\widehat{AHE}\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$
$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}$
$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{DHE}$
Mà $\widehat{ADH}+\widehat{AEH}+\widehat{DHE}=180{}^\circ $ ( tổng ba góc của một tam giác )
Nên $\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=\widehat{DHE}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $
Hay $\Delta HDE$ vuông tại $H$
$\to HD\bot HE$
