Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt \(AH = a\left( {a > 0} \right)\), khi đó ta có \(AM = a + 7\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại A nên \(AM = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2AM = 2\left( {a + 7} \right)\).
Ta có: \(AB.AC = BC.AH = 2a\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14\) (1)
Chu vi tam giác bằng \(72\) nên \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\)
Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có;
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2AB.AC = {\left( {AB + AC} \right)^2} - A{B^2} - A{C^2}\\ = {\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ = 4{\left( {29 - a} \right)^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Rightarrow AB.AC = 2{\left( {29 - a} \right)^2} - 2{\left( {a + 7} \right)^2}\\ = 1584 - 144a\,\,(2)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\begin{array}{l}2{a^2} + 14a = 1584 - 144a\\ \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 9\left( {TM} \right)\\a = - 8\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(AH = 9,BC = 32 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = 144\).
