$\text{a) Xét ΔABE và ΔHBE có:}$
$\text{$\widehat{ABE}$ = $\widehat{HBE}$ (BE là tia p/g $\widehat{B}$)}$
$\text{BE chung}$
$\text{$\widehat{BAE}$ = $\widehat{BHE}$ = $90^{o}$}$
$\text{⇒ ΔABE = ΔHBE (ch-gn) (1)}$
$\text{b) từ (1) ⇒ AB = HB (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{⇒ B thuộc đường trung trực của AH (2)}$
$\text{từ (1) ⇒ AE = HE (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{⇒ E thuộc đường trung trực của AH (3)}$
$\text{từ (2), (3) ⇒ BE là đường trung trực của AH}$
$\text{c) Có: EH ⊥ BC (gt) ⇒ ΔHEC vuông tại H}$
$\text{⇒ HE < EC (trong Δ vuông, cạnh huyền lớn nhất)}$
$\text{mà HE = AE (cmt)}$
$\text{⇒ AE < EC}$
$\text{d) Xét ΔAEK và ΔHEC có:}$
$\text{$\widehat{EAK}$ = $\widehat{EHC}$ = $90^{o}$}$
$\text{AE = HE (cmt)}$
$\text{$\widehat{AEK}$ = $\widehat{HEC}$ (đối đỉnh)}$
$\text{⇒ ΔAEK = ΔHEC (g.c.g)}$
$\text{⇒ AK = HC (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{Có: BK = AB + AK; BC = HB + HC}$
$\text{mà: AB = HB (cmt); AK = HC (cmt)}$
$\text{⇒ BK = BC}$
$\text{Xét ΔBKI và ΔBCI có:}$
$\text{BK = BC (cmt)}$
$\text{BI chung}$
$\text{KI = CI (I là trung điểm KC)}$
$\text{⇒ ΔBKI = ΔBCI (c.c.c)}$
$\text{⇒ $\widehat{KBI}$ = $\widehat{CBI}$ (2 góc t/ứ)}$
$\text{⇒ BI là tia p/g $\widehat{B}$}$
$\text{mà BE là tia p/g $\widehat{B}$ (gt)}$
$\text{⇒ BI trùng BE}$
$\text{⇒ B, E, I thẳng hàng}$
