Ta có: $OB=OD$ (=bán kính của $(O)$)
`=>∆OBD` cân tại $O$
`=>\hat{OBD}=\hat{ODB}`
`\hat{ABC}+\hat{ACB}=90°` (hai góc phụ nhau do $∆ABC$ vuông tại $A$)
`=>\hat{OBD}+\hat{DCP}=90°`
`=>\hat{ODB}+\hat{DCP}=90°` $(1)$
$\\$
`\hat{ODB}+\hat{CDP}+\hat{ODP}=180°`
`=>\hat{ODB}+\hat{CDP}=180°-\hat{ODP}`
`=180°-90°=90°`
`=>\hat{ODB}+\hat{CDP}=90°` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{DCP}=\hat{CDP}`
`=>∆CDP` cân tại $P$
`=>CP=DP` $(3)$
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A; P\in AC$
`=>PA`$\perp OA$
`=>PA` là tiếp tuyến của $(O)$
`=>PA` và $PD$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $P$
`=>AP=DP` $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>AP=CP`
Mà $A;P;C$ thẳng hàng
`=>P` là trung điểm $AC$ (đpcm)
