Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
$\Rightarrow AB,AC,BC$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $F,E,D$
$\Rightarrow \begin{cases}AE = AF = z\\BD = BF = x\\CD = CE = y\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}AB = x + z\\AC = y + z\\BC = x + y\end{cases}$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Leftrightarrow (x + y)^2 = (x + z)^2 + (y +z)^2$
b) Ta có:
$AB,AC,BC$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $F,E,D$
$\Rightarrow \begin{cases}S_{IAE}=S_{IAF}\\S_{IBD}=S_{IBF}\\S_{ICD}=S_{ICE}\end{cases}$
Xét tứ giác $AEIF$ có:
$\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o$
$\Rightarrow AEIF$ là hình chữ nhật
Ta lại có: $AI$ là phân giác của $\widehat{A}$ ($I$ là tâm đường tròn nội tiếp)
$\Rightarrow AEIF$ là hình vuông
$\Rightarrow AE = AF = IE = IF = ID = z$
$\Rightarrow \begin{cases}S_{AEIF}=z^2\\S_{BDIF}=2S_{IBD}=xz\\S_{CDIE}=2S_{ICD}=yz\end{cases}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=xz + yz + z^2$
$\Rightarrow AB.AC = 2S_{ABCD}= 2(xz + yz + z^2)\quad (1)$
Mặt khác:
$2DB.DC = 2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$
$= (x + z)^2 + (y + z)^2 - (x^2 + y^2)$
$= 2xz + z^2 + 2yz + z^2$
$= 2(xz + yz + z^2)\quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow AB.AC = 2DB.DC$
