Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh bốn điểm B, K, H, A cùng thuộc một đường tròn.
Ta có:  \(\Delta AKC\) thuộc đường tròng \(\left( O \right)\) có đường kính \(AC \Rightarrow \Delta AKC\) vuông tại \(K \Rightarrow \angle BKA = {90^0}.\)
\( \Rightarrow B,\;K,\;A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA.\;\;\;\left( 1 \right)\) 
Lại có: \(BO \bot AD = \left\{ H \right\} \Rightarrow \angle BHA = {90^0}\)
\( \Rightarrow B,\;H,\;A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(B,H,\;A,\;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA.\)  (đpcm)
2) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
Xét tam giác cân OAD  cân tại O (do \(OA = OD = R\)) có: OB vuông góc với AD
Suy ra OB  đồng thời cũng là trung trực của cạnh AD  (tính chất tam giác cân)
Suy ra \(AB = BD\) (tính chất trung trực)
Xét tam giác ABO  và tam giác DBO có:
+) \(AB = BD\) (cmt)
+) \(AO = OD\) (cùng là bán kính của đường tròn)
+)  BO  chung
\( \Rightarrow \Delta ABO = \Delta DBO\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \angle BDO = \angle BAO = {90^o} \Rightarrow BD \bot OD\)
Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)(đpcm).
3) Chứng minh \(BH.BO = BK.BC\).
Xét tam giác vuông BOD  vuông tại D  có  HD  là đường cao
\( \Rightarrow BH.BO = H{D^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                           (1)
Xét tam giác BDK và tam giác BCD có:
+) \(\angle CBD\) chung
+) \(\angle BDK = \angle BCD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung DK)
\( \Rightarrow \Delta BDK \sim \Delta BCD\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BD}} \Rightarrow BK.BC = B{D^2}\)                                            (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BH.BO = BK.BC\)(đpcm).
4) Từ \(\left( O \right)\)vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EC tại F, BF cắt AO tại M. Chứng minh: \(MA = MO\)
Xét tam giác BEF và tam giác CEA có:
+) \(\angle ABM = \angle ACE\) (do cùng phụ với \(\angle BEC\))
+) \(\angle CAE = \angle BAM = {90^o}\)
\( \Rightarrow \Delta BAM \sim \Delta CAE\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB.AE = AM.AC\)        (3)
Xét tam giác BOE vuông tại O có AO là đường cao\( \Rightarrow AB.AE = A{O^2}\)     (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow A{O^2} = AM.AC \Leftrightarrow A{O^2} = 2AO.AM \Leftrightarrow 2AM = AO\)
Mà có \(AM + MO = AO \Rightarrow MO = AO - AM = 2AM - AM = AM\).
Vậy \(AM = MO\) (đpcm)\(\) \(\)