Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Biết độ dài AB = 12cm, AC = 16cm. Tính diện tích tứ giác ADOE?
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Do AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại D \( \Rightarrow \) AB là tiếp tuyến của đường tròn (O), D là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OD \bot AB\) tại D Do AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại E \( \Rightarrow \) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), E là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OE \bot AC\) tại E Do BC tiếp xúc với đường tròn (O) tại F \( \Rightarrow \) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O), F là tiếp điểm \( \Rightarrow \) \(OF \bot BC\) tại F Tứ giác ADOE có: \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = {90^0}\) nên là hình chữ nhật Mặt khác, ta lại có: AD = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) ADOE là hình vuông ( hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau) Ta có: BD = BF; CE = CF ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét: AB + AC – BC = (AD + DB ) + (AE + EC ) – (BF + FC ) = AD + DB + AE + EC – BF - FC = (AD + AE ) + (BD – BF ) + (EC- FC ) = AD + AD + 0 + 0 = 2AD Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, áp dụng định lý pitago, ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {400} = 20cm\) AB + AC – BC = 2AD\( \Rightarrow AD = \frac{{AB + AC -BC}}{2} = \frac{{12 + 16 - 20}}{2} = 4cm\) Diện tích hình vuông ADOE: \({S_{ADOE}} = A{D^2} = {4^2} =16c{m^2}\)