$\text{a) Xét ΔABC, có:}$
$\text{· M là trung điểm AB (gt)}$
$\text{· N là trung điểm BC (gt)}$
$\text{⇒ MN là đường trung bình của ΔABC. }$
$\text{⇒ MN song song AC ( t/c đường trung bình ) }$
$\text{mà : AB ⊥ AC tại A (gt)}$
$\text{⇒ AB ⊥ MN tại M}$
$\text{⇒ ∠AMN = $90^{o}$ }$
$\text{Xét tứ giác AMNC, có:}$
$\text{MN song song AC (cmt)}$
$\text{⇒ tứ giác AMNC là hình thang}$
$\text{mà · ∠AMN = $90^{o}$ }$
$\text{ · ∠A = $90^{o}$ }$
$\text{⇒ tứ giác AMNC là hình thang vuông }$
$\text{b) Ta có : NP song song AB}$
$\text{mà AC ⊥ AB tại A (gt)}$
$\text{⇒ AC ⊥ NP tại P}$
$\text{⇒ ∠NPA = $90^{o}$ }$
$\text{Xét tứ giác AMNP, có :}$
$\text{· ∠A = ∠AMN = ∠NPA = $90^{o}$}$
$\text{⇒ tứ giác AMNP là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)}$