Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi $a, b $ ta có:
$(a - b)^{2} >= 0 <=> a^{2} - 2ab + b^{2} >= 0$
$ <=> a^{2} + b^{2} >= 2ab $
$ <=> 2a^{2} + 2b^{2} > a^{2} + 2ab + b^{2} $
$ <=> 2(a^{2} + b^{2} >= (a + b)^{2} (1)$.
Dấu $'=' <=> a = b$
Vẽ đường cao $AH$ của tam giác vuông $ABC$
Vì $AKMJ$ là hình chữ nhật $=> MA = JK$
ÁP dụng Pitago và $(1)$
$ 2(MI^{2} + MJ^{2} + MK^{2}) = 2(MI^{2} + JK^{2})$
$ = 2(MI^{2} + MA^{2}) >= (MI + MA)^{2} >= AI^{2} >= AH^{2}$ (ko đổi)
Vậy tổng $ MI^{2} + MJ^{2} + MK^{2} $ nhỏ nhất bằng
$\dfrac{AH^{2}}{2} $ khi $M$ là trung điểm $AH$