$a) \text{P là trung điểm của BC (gt)}$
$\text{N là trung điểm của AC (gt)}$
$\Rightarrow \text{NP là đường trung bình}$
$\Rightarrow NP//AB \text{ hay }NP//MB\text{ và } NP=\frac{1}{2}AB\hspace{0,2cm}(1)$
$\text{mà M là trung điểm của AB (gt)}$
$\Rightarrow AM= MB=\frac{1}{2}AB\hspace{0,2cm}(2)$
$\text{Từ (1), (2)} \Rightarrow NP//MB, NP=MB$
$\Rightarrow \text{Tứ giác BMNP là hình bình hành}$
$b) \text{Vì } AM=NP (=\frac{1}{2}AB)$
$\text{và }NP//MB\text{ hay }NP//AM$
$\Rightarrow \text{AMPN là hình bình hành}$
$\text{mà }\widehat{BAC}=90^{o}$
$\Rightarrow \text{AMPN là hình chữ nhật}$
$\Rightarrow AM=PN\text{ và }AN=MP$
$c) \text{Vì Q đối xứng với P qua N}$
$\Rightarrow PQ\bot{AC}\text{ và } PN=NQ$
$\text{Tương tự: }\Rightarrow PR\bot{AB}\text{ và } RM=MP$
$\text{Xét Δ RAM và ΔAQN:}$
$AM=QN (=NP)$
$\widehat{AMR}=\widehat{QNA}(=90^{o})$
$RM=AN (=MP)$
$\Rightarrow \Delta RAM = \Delta AQN\hspace{0,2cm} (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{MAR}=\widehat{NQA}$
$\text{Ta có: }\widehat{NQA}+\widehat{QAN}=90^{o}$
$\Rightarrow \widehat{MAR}+\widehat{QAN}=90^{o}$
$\text{Lại có: }\widehat{BAC}=90^{o}$
$\Rightarrow \widehat{MAR}+\widehat{QAN} + \widehat{BAC}=180^{o}$
$\Rightarrow \text{R, A, Q thẳng hàng}$
