Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=15$
Vì $BD$ là phân giác $\hat B$
$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$
$\to \dfrac{DA}{DA+DC}=\dfrac3{3+5}$
$\to \dfrac{DA}{AC}=\dfrac38$
$\to AD=\dfrac38AC$
$\to AD=\dfrac{15}{2}$
$\to DC=AC-AD= \dfrac{25}2$
b.Xét $\Delta ABD, \Delta HBC$ có:
$\widehat{ABD}=\widehat{NBC}$ vì $BN$ là phân giác $\hat B$
$\widehat{BAD}=\widehat{BNC}(=90^o)$
$\to \Delta BAD\sim\Delta BNC(g.g)$
c.Xét $\Delta MNB,\Delta MAC$ có:
Chung $\hat M$
$\widehat{MNB}=\widehat{MAC}(=90^o)$
$\to \Delta MBN\sim\Delta MCA(g.g)$
$\to \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MN}{MA}$
$\to MA.MB=MN.MC$
d.Ta có $BN\perp CM, CA\perp BM\to D$ là trực tâm $\Delta MBC$
Gọi $MD\cap BC=E$
$\to MD\perp BC$
Xét $\Delta BDE, \Delta BNC$ có:
Chung $\hat B$
$\widehat{BED}=\widehat{BNC}(=90^o)$
$\to\Delta BDE\sim\Delta BCN(g.g)$
$\to \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BE}{BN}$
$\to BD.BN=BE.BC$
Tương tự $CA.CD=CE.CB$
$\to BD.BN+AC.DC=BE.BC+CE.CB=BC^2$
