Đáp án:
a) Xét ΔABM và ΔHBM có:
+ AB = HB
+ góc ABM = góc HBM
+ BM chung
=> ΔABM = ΔHBM (c-g-c)
b) Do ΔABM = ΔHBM
=> góc BAM = góc BHM = 90 độ
=> BH ⊥ HM
hay HM ⊥ BC
c) DO ΔABM = ΔHBM
=> AM = HM
Xét ΔAMK và ΔHMC vuông tại A và H có:
+ AM = HM
+ góc AMK = góc HMC (đối đỉnh)
=> ΔAMK = ΔHMC (ch-gn)
=> AK = HC; MK = MC
=> ΔKMC cân tại M
Và AB + AK = BH + HC
=> BK = BC
=> ΔKBC cân tại B
d) Ta có ΔABH cân tại B; ΔKBC cân tại B
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BHA} = \widehat {BKC} = \widehat {BCK}\\
= \frac{{{{180}^0} - \widehat {ABC}}}{2}\\
\Rightarrow AH//KC
\end{array}$
(do có 2 góc đồng vị bằng nhau)
e) I là trung điểm của KC
Xét ΔBKI và ΔBCI có:
+ BK = BC
+ KI = CI
+ BI chung
=> ΔBKI = ΔBCI (c-c-c)
=> góc BIK = góc BIC
Mà 2 góc là 2 góc kề bù
=> góc BIK = góc BIC = 90 độ
=> ΔBIK vuông tại I
f) Do AD = AM; HE = MH (gt)
Lại có: AM = MH (cmt)
=> AD = HE
Xét ΔBAD và ΔBHE vuông tại A và H có:
+ BA = BH
+ AD = HE
=> ΔBAD = ΔBHE (c-g-c)
=> BD = BE
=> ΔBDE cân tại B
g) Để ΔBDE cân tại B thành tam giác đều
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {DBE} = {60^0}\\
Do:\Delta BDM = \Delta BEM\left( {c - c - c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {EBM} = \frac{1}{2}\widehat {DBE} = {30^0}\\
Do:\Delta DBA = \Delta MBA\left( {c - g - c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {DBA} = \widehat {MBA} = \frac{1}{2}\widehat {DBM} = {15^0}\\
TT:\widehat {MBH} = \widehat {EBH} = \frac{1}{2}\widehat {MBE} = {15^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {MBA} + \widehat {MBH} = {30^0}
\end{array}$
Vậy tam giác ABC có góc B = 30 độ thì tam giác BDE đều
