Giải thích các bước giải:
a) Vì A, B thuộc đường tròn tâm (O1)
$\Rightarrow O_1A = O_1B$ và $\widehat {O_1AB} = \widehat {O_1BA}$ (1)
Tương tự: $\widehat {O_2AC} = \widehat {O_2CA}$ (2) và $O_2A = O_2C$
Cộng (1) với (2) có: $\widehat{O_1AB} + \widehat {O_2AC} = \widehat {O_1BA} + \widehat {O_2CA}$
Vì tam giác ABC vuông tại A
$\widehat{BAC}=\widehat {ABC}+\widehat{BCA}=90^o$ nên:
$ \eqalign{ & \widehat {O_1AB} + \widehat{O_2AC} + \widehat {BAC} = \widehat{O_1BA} + \widehat {O_2CA} + \widehat{ ABC} + \widehat{ BCA} \cr & \Rightarrow \widehat{O_1AO_2} = \widehat {O_1BC} + \widehat {O_2CB} \cr} $
Vì (${O_1}$) tiếp xúc BC tại B
$\Rightarrow \widehat {O_1BC} = 90^\circ $
Tương tự có $\widehat {O_2CB} = 90^\circ $
$\Rightarrow \widehat {O_1AO_2} = 180^\circ $
$\Rightarrow O_1$, A, $O_2$ thẳng hàng
$\Rightarrow (O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc nhau tại A. (đpcm)
b) Vì M là trung điểm BC
Mà tam giác ABC vuông tại A
$\Rightarrow AM=MB=MC=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow MO_1, MO_2$ lần lượt là trung trực của AB và AC
$\Rightarrow \widehat{O_1AM} = \widehat {O_1BM}=90^\circ $
$\Rightarrow $ AM là tiếp tuyến của $(O_1)$
Tương tự AM là tiếp tuyến của $(O_2)$
$\Rightarrow $ AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$. (đpcm)
