a) Ta có: $AE=AB$; $AG=AC$
Xét hai đường thẳng $EB$ và $GC$ có điểm $A$ không thuộc hai đường thẳng ta có:
$\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow EB\parallel GC\Rightarrow $ tứ giác $EBCG$ là hình thang
$EC=EA+AC=BA+AG=BG$
$\Rightarrow EC=BG$
Hình thang $EBCG$ có hai đường chéo bằng nhau
$\Rightarrow EBCG$ là hình thang cân.
b) Tứ giác $AEKG$ là hình chữ nhật vì có $\widehat E=\widehat A=\widehat G=90^o$
$\Rightarrow AK\cap EG $ tại trung điểm của mỗi đường
Mà $M$ là trung điểm của $EG\Rightarrow M$ là trung điểm của $AK$
$\Rightarrow A,M,K$ thẳng hàng.
c) Gọi $H=MA\cap BC$
Ta có $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (đối đỉnh) (1)
$\widehat{GBC}=\widehat{GEC}$ (do $\Delta ECG=\Delta BGC$ (c.c.c))
Mà $\widehat{GEC}=\widehat{EAK}$
$\Rightarrow \widehat{GBC}=\widehat{EAK}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{GBC}+\widehat{A_2}=\widehat{EAK}+\widehat{A_1}=90^o$
$\Delta BHA$ có $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o$
$\Rightarrow\widehat{BHA}=90^o$
$\Rightarrow AH\bot BC$ hay $AM\bot BC$ (*)
d) Gọi $BF\cap KC=Q$
Và $DC\cap KB=O$
Tứ giác $AEKG$ có $\widehat E=\widehat G=\widehat A=90^o\Rightarrow AEGK$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow KG=AE=AB$
Ta có $ KF=KG+GF=AB+AG=BG$
Xét $\Delta$ vuông $ BGF$ và $\Delta $ vuông $KFC$ có:
$GF=FC$ ($ACFG$ là hình vuông)
$BG=KF$ (chứng minh trên )
$\Rightarrow $ $\Delta$ vuông $ BGF=\Delta $ vuông $KFC$ (cgv.cgv)
$\Rightarrow \widehat{BFG}=\widehat{KCF}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{BFG}+\widehat{BFC}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{KCF}+\widehat{BFC}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{QCF}+\widehat{QFC}=90^o$
Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác $\Delta QCF\Rightarrow$$\widehat{FQC}=90^o$
$\Rightarrow BF\bot KC$ (**)
Chứng minh tương tự $\Delta$ vuông $ KDB=\Delta$ vuông $ CED$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow \widehat{DBK}=\widehat{EDC}$
$\Rightarrow \widehat{DBO}+\widehat{BDO}=\widehat{EDC}+\widehat{BDO}=90^o$
$\widehat{BOD}=90^o$
$\Rightarrow CD\bot BK$ (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra $\Delta BCK$ có 3 đường cao $KA,BF,CD$
$\Rightarrow AM,BF,CD$ đồng quy tại trực tâm $\Delta BCK$ (đpcm)
