Đáp án: $\text{a) Xét tam giác ABC vuông tại B có :}$
    $\text{AB^2 + BC^2 = AC^2}$
$\text{=>  36  + 64 = AC^2}$
$\text{=> AC^2 = 100}$
$\text{=> AC^2 = 10^2}$
$\text{=> AC = 10 ( cm)}$
$\text{mà M là TĐ của AC}$
$\text{=> AM = MC = 5 cm}$
$\text{Xét tam giác ABC vuông tại B có}$
$\text{BM là đường trung tuyến}$
$\text{=> BM = AM = MC ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )}$
$\text{=> BM = 5cm}$
$\text{b) Xét tứ giác DMNB có}$
$\text{Góc DMB = 90 độ ( DM vuông góc AB )}$
$\text{Góc DBN = 90 độ ( Tam giác ABC vuông tại B)}$
$\text{Góc MNB = 90 độ ( MN vuông góc BC)}$
$\text{=> Tứ giác DMNB là hình chữ nhật }$
$\text{c) Xét tam giác ACB có}$
$\text{M là TĐ AC}$
$\text{DM // BC ( DM // BN)}$
$\text{=> MD đi qua TĐ AB}$
$\text{=> D là TĐ của AB}$
$\text{Xét tứ giác AMBE có}$
$\text{D là TĐ của AB ( cmt)}$
$\text{D là TĐ của EM ( E đối xứng M qua D) }$
$\text{=> AB cắt EM tại TĐ D }$
$\text{=> Tứ giác AMBE là hình bình hành }$
$\text{mà EM vuông góc với AB tại D ( DM vuông góc AB)}$
$\text{=> Tứ giác AMBE là hình thoi ( đpcm)}$
$\text{d) Tứ giác AMBE là hình vuông}$
$\text{=> Góc AMB = 90 độ}$
$\text{=> BM vuông góc AM}$
$\text{=> BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến}$
$\text{=> BM vuông cân tại B}$
NẾU BẠN THẤY HAY THÌ CHO MÌNH 5 SAO + CTLHN NHÉ! CHÚC BẠN HỌC TỐT :)))

Lời giải: 😤😤😤

 `\text{ a)Áp dụng định lý Pitago vào ΔABC vuông tại B ta có :}`   

$AB^{2}$ + $BC^{2}$ `=` $AC^{2}$        

$8^{2}$ + $6^{2}$ `=` $AC^{2}$            

`100` `=` $AC^{2}$        

`⇒` `AC` `=` `10` `(cm)`

`\text{ Do M là trung điểm của AC suy ra : BM=}` `1/2` `AC` `\text{(đường trung tuyến ứng với}``\text{cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền)}`

`\text{ ⇔ BM =}` `1/2` AC `=` `10/2` `\text{= 5 cm}`

`\text{ b) Xét tứ giác BDMN có : }`

`$\widehat{B}$ `=` $90^\circ$

$\widehat{MNB}$ `=` $90^\circ$

$\widehat{MDB}$ `=` $90^\circ$

`\text{⇒ Tứ giác BDMN là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc bằng }` $90^\circ$`\text{⇔ MD // BN ⇔ MD // BC }`

`\text{c) Xét ΔABC có :}``\text{ MA = MC }`

`\text{ MD//BC }``\text{ ⇒ DA = DB }`

`\text{ Lại có DE = DM ( do E đối xứng với M qua D}`

`\text{Suy ra AMBE là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau}`

`\text{tại trung điểm mỗi đường)}`

`\text{Thêm nữa}` $\widehat{ADM}$ `=` $90^\circ$

⇒ AMBE là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau)

`\text{d) Hình thoi có 1 góc vuông ⇒ hình vuông }`

`\text{ Vậy , để AMBE là hình vuông ⇒}` $\widehat{B}$ `=` $90^\circ$

`\text{ ⇔ BM ⊥ AC suy ra BM là đường cao}`

`\text{ Lại có MA = MC suy ra BM là đường phân giác}`

$\text{Do trong tam giác cân , đường cao đồng thời là đường phân giác ⇒ ΔABC cân tại B}$

`\text{ ⇔ ΔABC vuông cân tại B}`

`\text{ Vậy , để AMBE là hình vuông thì ΔABC cần điều kiện là tam giác vuông cân}`