Gọi $K$ là trung điểm $BC$
$G$ là giao điểm $BM, CN$
$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $∆ABC$
Ta có:
$K$ là trung điểm $BC$ (cách dựng)
$\Rightarrow CK = KB = KG = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$ ($∆GBC$ vuông tại $G$)
$\Rightarrow AK = 3KG = \dfrac{3a}{2}$ (tính chất đường trung tuyến)
Áp dụng Pytago vào $∆CAK$ vuông tại $C$ ta có:
$AK^2 = CK^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC = \sqrt{AK^2 - CK^2} = \sqrt{(\dfrac{3a}{2})^2 - (\dfrac{a}{2})^2} = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow CM = \dfrac{A}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng Pytago vào $∆CBM$ vuông tại $C$ ta có:
$BM^2 = BC^2 + CK^2$
$\Rightarrow BM = \sqrt{BC^2 + CK^2} = \sqrt{a^2 + (\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
