Lời giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\quad \dfrac{BD}{DA} = \dfrac{BC}{AC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{AB - BD} = \dfrac{BC}{AC}$
$\Leftrightarrow BD = \dfrac{AB.BC}{AC+ BC}$
Từ $D$ kẻ $DH\perp AB$
$\Rightarrow DH//AC$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\quad \dfrac{DH}{AC} = \dfrac{BD}{AB}$
$\Leftrightarrow DH = \dfrac{BD.AC}{AB}$
$\Leftrightarrow DH = \dfrac{\dfrac{AB.BC}{AC+ BC}\cdot AC}{AB}$
$\Leftrightarrow DH = \dfrac{AB.BC}{AC + BC}$
Xét $\triangle HCD$ vuông tại $H$ có:
$\quad \sin\widehat{HCD} = \dfrac{DH}{CD}$
$\Rightarrow CD = \dfrac{DH}{\sin\widehat{HCD}} = \dfrac{DH}{\sin45^\circ}$
$\Rightarrow CD = \dfrac{AB.BC}{(AC + BC)\sin45^\circ} = \dfrac{ab}{(a+b)\sin45^\circ}$
