Cho tam giác ABC \(\left( \widehat{A\,\,}<{{90}^{0}} \right)\). Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF. Chứng minh rằng tam giác MBC cân tại M. A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chưa A dựng tam giác BHC vuông cân đỉnh B. Xét tam giác BHD và tam giác BCA có: DB = BA (Vì ADBE là hình vuông) \(\widehat{DBH}=\widehat{ABC}\) (vì cùng phụ với góc HBA) BH = BC (vì tam giác BHC vuông cân đỉnh B) Do đó: \(\Delta BHD=\Delta BCA\,\,(c.g.c)\), suy ra \(DH=AC,\widehat{BHD}=\widehat{BCA}\). AC cắt HD tạ K, cắt BH tại I. Xét tam giác IHK và tam giác ICB có: \(\widehat{HIK}=\widehat{CIB}\) (đối đỉnh), \(\widehat{BHD}=\widehat{BCA}\), do đó \(\widehat{HKI}=\widehat{IBC}={{90}^{0}}\Rightarrow KC\bot DH\) Mặt khác \(KC\bot CF\), do đó DH // CF. Ta có DH = CF (= AC) và DH // CF nên DHFC là hình bình hành. Mà M là trung điểm của DF nên M là trung điểm của HC, suy ra tam giác MBC vuông cân đỉnh M.