a) ΔBFC cân tại B ⇒ BF = BC
Xét ΔBEF và ΔBAC có:
∠BEF = ∠BAC = $90^{o}$ (FE ⊥ BC tại E; CA ⊥ BF tại A)
BF = BC (cmt)
∠B: góc chung
⇒ ΔBEF = ΔBAC (cạnh huyền-góc nhọn)
b) Ta có: ΔBEF = ΔBAC (cmt)
⇒ BE = BA (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔABD và ΔEBD có:
BA = BE (cmt)
∠BAD = ∠BED = $90^{o}$ (FE ⊥ BC tại E; CA ⊥ BF tại A)
BD: cạnh chung
⇒ ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒ ∠ABD = ∠EBD (2 góc tương ứng)
⇒ BD là tia phân giác của ∠ABC
c) Ta có BA = BE (cmt) ⇒ ΔBAE cân tại B
⇒ ∠BAE = $\frac{180^{o}-∠ABE}{2}$ (1)
Ta có ΔBFC cân tại B (gt)
⇒ ∠BFC = $\frac{180^{o}-∠FBC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠BAE = ∠BFC
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ AE // FC
Xét ΔBMF và ΔBMC có:
BF = BC (cmt)
BM: cạnh chung
MF = MC (M là trung điểm của FC)
⇒ ΔBMF = ΔBMC (c.c.c)
⇒ ∠BMF = ∠BMC (2 góc tương ứng)
mà ∠BMF + ∠BMC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ ∠BMF = ∠BMC = $90^{o}$
⇒ BM ⊥ FC
mà AE // FC (cmt) ⇒ BM ⊥ AE
