Đáp án:
$a)$
Xét $ΔBEF$ và $ΔBAC$ là hai $Δ$ vuông có:
$\widehat{ABC}$ chung
$BF=BC$ (do $\Delta BFC$ cân đỉnh B)
$→ΔBEF=ΔBAC$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$b)$
$ΔBEF=ΔBAC→BE=BA$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $ΔBED$ và $ΔBAD$ là hai $Δ$ vuông có:
$BE=BA$ (cmt)
BD chung
$→ΔBED=ΔBAD$ (Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$→\widehat{EBD}=\widehat{ABD}$ (hai góc tương ứng)
$→BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$ (1)
$c)$
$ΔBMF$ và $ΔBMC$ có:
BM chung
$MF=MC$
$BF=BC$
$→ΔBMF=ΔBMC$ (c.c.c)
$\to\widehat{FBM}=\widehat{CBM}$ (hai góc tương ứng)
$→$ BM là phân giác $\widehat{CBF}$ hay $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD, BM cùng là phân giác $\widehat{ABC}$ nên $B, D, M$ thẳng hàng.
Gọi $I=AE\cap BM\Rightarrow I\in BM\Rightarrow BI$ cung là phân giác $\widehat{ABC}$
Xét $\Delta ABI$ và $\Delta EBI$ có:
$BI$ chung
$\widehat{ABI}=\widehat{EBI}$ (cmt)
$BA=BE$ (hai cạnh tương ứng của ΔBED=ΔBAD)
$\to \Delta ABI=\Delta EBI$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{EBI} $ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{AIB}+\widehat{EBI} =180^o$ (kề bù)
$\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{EBI} =\dfrac{180^o}{2}=90^o$
$\Rightarrow BI\bot AE$ hay $BM\bot AE$.
