Đáp án:
a) Gọi AI cắt BD tại H
Xét ΔABH và ΔIBH vuông tại H có:
BH chung
$\widehat{ABH} = \widehat{ IBH}$ (do BD là phân giác góc B)
$\Rightarrow$ΔABH = ΔIBH (cgv-gn)
$\Rightarrow $ BA = BI (đpcm) và $AH=IH$
b) Trong $\Delta ABC$ có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180-100^o}{2}=40^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=20^o$
Áp dụng tính chất góc ngoài tam giác vào $\Delta ABD$ ta có:
$\widehat{ADK} = \widehat{ BAD} + \widehat{DBA} = 100+20^o=120^o$
Tam giác DAK cân tại D do DA= DK
$\Rightarrow \widehat{DAK} = \widehat{ DKA} = \dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o$
$\widehat{ADH}=180^o-\widehat{ADK}=180^o-120^o=60^o$ (hai góc bù nhau)
Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong tam giác vào $\Delta ADH$ có:
$\widehat{HAD} = 180^o-90 ^o - 60^o = 30^o$
$\widehat{ HAK}=\widehat{HAD}+\widehat{DAK} = 60^o $ (1)
Xét $\Delta AKH$ và $\Delta IKH$ có:
$HK$ chung
$\widehat{AHK}=\widehat{IHK}=90^o$
$AH=IH$ (cm ở câu a)
$\Rightarrow \Delta AKH=\Delta IKH$ (c.g.c)
$\Rightarrow KA=KI\Rightarrow \Delta AKI$ cân đỉnh $K$
lại có $\widehat{ HAK} = 60 ^o$
$\Rightarrow $AIK là tam giác đều
c) Xét $\Delta AIC$ và $\Delta AKC$ có:
$AC$ chung
$\widehat{IAC}=\widehat{KAC}=30^o$
$AI=AK$ ($\Delta AKI$ đều)
$\Rightarrow \Delta AIC=\Delta AKC$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{ACI}=\widehat{ACK}=40^o$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{BCK}=\widehat{BCA}+\widehat{ACK}=40^o+40^o=80^o$
