a) $F$ là trung điểm của $AB$
$F$ là trung điểm của $HC$
Tứ giác $AHBC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow $ tứ giác $AHBC$ là hình bình hành
$\Rightarrow AH\parallel BC$ hay $AI\parallel BD$ (1)
Ta có: $DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow DE\parallel AB$ hay $DI\parallel AB$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ tứ giác $AIDB$ là hình bình hành.
b) Ta có: $BC\parallel AH$ (cm câu a)
Hay $BD\parallel HI$
$\Rightarrow BDIH$ là hình thang (*)
Ta có $\Delta ABC$ và $\Delta BAH$ có:
$AB$ chung
$AC=BH$ (do AHBC là hình bình hành chứng minh ở câu a)
$BC=AH$ (do AHBC là hình bình hành chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta BAH$ (c.c.c)
$\Delta ABC$ cân đỉnh $A\Rightarrow \Delta BAH$ cân đỉnh B
$\Rightarrow \widehat{BHA}=\widehat{BAH}$
mà $\widehat{BAH}=\widehat{DIA}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)
$\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{DIA}$ (**)
Từ (*) và (**) $BDIH$ là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau nên
$BDIH$ là hình thang cân (đpcm).
