`a,` Có:
`EF^2=10^2=100`
`DE^2+DF^2=6^2+8^2=36+64=100`
`⇒EF^2=DE^2+DF^2`
`⇒ΔDEF` vuông tại `D` (Định lý Pytago đảo)
`b,` `DK\botEF` $(gt)$ `⇒\hat{DKE}=\hat{DKF}=90^o`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔDEF` vuông tại `D` `(cmt),DK\botEF` $(gt)$ có:
`-DK.EF=DE.DF`
Hay `DK.10=6.8`
`⇔DK.10=48`
`⇔DK=4,8` `(cm)`
`-DF^2=FK.FE`
Hay `8^2=FK.10`
`⇔64=FK.10`
`⇔FK=6,4` `(cm)`
`c,` `EF=EK+KF`
`⇒EK=EF-KF=10-6,4=3,6` `(cm)`
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔDKE` vuông tại `K` `(\hat{DKE}=90^o)` có:
`sinE={DK}/{DE}={4,8}/{6}={4}/{5}`
`⇒\hat{E}~~53^o`
Xét `ΔEDK` vuông tại `K` `(\hat{DKE}=90^o)` có:
`\hat{D}+\hat{E}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay `\hat{D}+53^o=90^o`
`⇔\hat{D}=37^o`
`d,` `ΔDEF` vuông tại `D` $(gt)$ `⇒\hat{EDF}=90^o` Hay `\hat{EDM}=90^o`
Xét `ΔDEF` có: `EM` là phân giác `\hat{DEF}`
`⇒{DM}/{MF}={ED}/{EF}` (tính chất tia phân giác trong tam giác)
`⇒{DM}/{DE}={MF}/{EF}`
Hay `{DM}/{6}={MF}/{10}`
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có:
`{DM}/{6}={MF}/{10}={DM+MF}/{6+10}={DF}/{16}=8/16=1/2`
`{DM}/{6}=1/2⇒DM=6/2=3` `(cm)`
`{MF}/{10}=1/2⇒MF=10/2=5` `(cm)`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔDEM` vuông tại `D` `(\hat{EDM}=90^o)` có:
`EM^2=DE^2+DM^2`
Hay `EM^2=6^2+3^2`
`⇒EM^2=36+9`
`⇒EM^2=45`
`⇒EM=3\sqrt{5}` `(cm)` (vì `EM>0)`
