Giải thích các bước giải:
a.Gọi $O$ là trung điểm $AH\to O$ là tâm đường tròn đường kính $AH$
Ta có $\Delta ABC$ đều, $AH\perp BC\to AH$ là phân giác $\hat A$
$\to \widehat{BAH}=\widehat{HAC}$
$\to\widehat{MAH}=\widehat{HAN}$
$\to H$ nằm giữa cung $MN$
$\to OH\perp MN$
$\to AH\perp MN$
$\to MN//BC$
b.Ta có $AH$ là đường kính của $(O)\to HM\perp AM\to HM\perp AB$
Mà $AH\perp BC\to AH\perp HB$
$\to BH^2=BM.BA$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c.Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh $a, AH\perp BC$
$\to AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
d.Ta có $S_{\Delta ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Ta có $AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$\to AH$ là phân giác $\widehat{MAN}$
Mà $AH\perp MN$
$\to \Delta AMN$ cân tại $A$
Lại có $\hat A=60^o\to \Delta AMN$ đều
Vì $BH^2=BM.BA\to BM=\dfrac{BH^2}{BA}=\dfrac14a$
$\to AM=AB-BM=\dfrac34a$
$\to S_{AMN}=\dfrac{(\dfrac34a)^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9\sqrt{3}a^2}{64}$
$\to S_{OAM}=S_{OAN}=S_{OMN}=\dfrac13S_{AMN}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}$
Ta có $\widehat{MON}=2\widehat{MAN}=120^o$
Bán kính $(O)$ là $R=\dfrac12AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\to S_{cung\quad MN}=\dfrac{120^o}{360^o}\cdot \pi R^2$
$\to S_{cung\quad MN}=\dfrac{\pi a^2}{16}$
$\to$ Diện tích phần chung giữa tam giác và hình tròn là:
$S=S_{OAM}+S_{OAN}+S_{cung\quad MN}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}+\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{64}+\dfrac{\pi a^2}{16}$
$\to S=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{32}+\dfrac{\pi a^2}{16}$
