Đáp án:
a) Vì B và C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90 độ
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD, hai cạnh góc vuông AB và AC bằng nhau (do ∆ ABC đều)
⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ BAD = CAD (1)
Vì AMBD là tứ giác nội tiếp nên:
BMD = BAD (2)
Vì AMDC là tứ giác nội tiếp nên:
CMD = CAD (3)
Từ (1), (2) và (3) => BMD = CMD
⇒ MD là phân giác của góc BMC.
b) Ta có: BAD = CAD = 1/2BAC = 30 độ
Xét ∆ ABD vuông tại B có:
BA=AD.cosBAD=2R.cos$30^o$=R√3
Vì AB = AC, DB = DC nên AD là trung trực của BC
⇒ AD ⊥ BC.
Tứ giác ABDC có AD ⊥ BC nên
S(ABCD)=1/2AD.BC=1/2.2R.R√3 =R²√3
c) Vẽ OI ⊥ AB tại I. Xét tam giác vuông OIA ta có:
OI=OA.sinOAI=R.sin $30^o$=R/2
⇒ Diện tích tam giác AOB là
S(OAB)=1/2AB.OI=1/2R√3.R/2=R²√3/4 (ĐVDT)
Ta có: AOB=2AOC=$120^o$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Diện tích hình quạt AOB là $\pi$ R².120/360 = $\pi$ R²/3
Suy ra diện tích hình viên phân cần tìm là$\pi R^2$/3-$R^2√3$/4=R²(4$\pi$ -3√3)/12 (đvdt)
d) Gọi J là giao điểm của AM và BD.
Vì M , B thuộc đường tròn đường kính AD nên DM ⊥ AJ, AB ⊥ DJ
⇒ K là trực tâm của tam giác AJD
⇒ JK ⊥ AD
⇒ JK // BC (cùng ⊥ AD) (4)
Tứ giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là tứ giác nội tiếp
⇒ KHA =$ 180^o – KMA = 180^o – 90^o = 90^o$
⇒ KH ⊥ AD
⇒ KH // BC (cùng ⊥ AD) (5)
Từ (4) và (5), theo tiên đề Ơ–clít về đường thẳng song song, ta có J, K, H thẳng hàng.
Vậy AM, BD và KH đồng quy tại J.
