a) Ta có: \(IE=IF=ID=\dfrac{1}{2}AM=IA=IM\) (Trung tuyến trong tam giác vuông)
Tam giác IAE cân tại I, có \(\widehat {EIM} = \widehat {IAE} + \widehat {IEA} = 2\widehat {IAE}\) (góc ngoài của tam giác)
Tương tự có \(\widehat{MID}=2\widehat{IAD}\).
\(\Rightarrow \widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\widehat{IAE}+2\widehat{IAD}=2\widehat{EAD}={{2.30}^{0}}={{60}^{0}}\).
Tam giác IED có ID = ID, góc EID = 60 độ
=> Tam giác IED đều => IE = ID = ED
CMTT có: Tam giác IFD đều => IF = ID = DF
=> IE = IF = DE = DF => EIFD là hình thoi.
b) EIFD là hình thoi => ID và EF cắt nhau tại TĐ mỗi đường. Gọi O là giao của EF và ID => O là TĐ của EF và ID.
Gọi G là trung điểm của AH.
Ta có : IG là đường TB của tam giác AMH => IG // MH.
OH là đường TB của tam giác AID => OH // IG
=> Qua điểm H kẻ được OH, MH cùng song song với IG
=> O, M, H thẳng hàng => MH đi qua O.
Vậy MH , ID , EF đồng quy tại O.
c) EF nhỏ nhất => OE nhỏ nhất.
Ta có: OE = IE.sin60 = ID.sin60
=> OE nhỏ nhất => ID nhỏ nhất => AM nhỏ nhất => M trùng D.
