Đáp án:
a) Tam giác MNK cân tại M nên đường cao ME đồng thời là trung tuyến
=> EN = EK = NK/2 = 8cm
THeo Pytago trong tam giác vuông MEN có:
$\begin{array}{l}
M{N^2} = N{E^2} + M{E^2}\\
\Rightarrow M{E^2} = {10^2} - {8^2} = 36\\
\Rightarrow ME = 6\left( {cm} \right)
\end{array}$
b)
Xét ΔEHK và ΔMHE có:
+ góc EMH = KEH (cùng phụ với góc MEH)
+ góc MHE = góc EHK = 90 độ
=> ΔEHK ~ ΔMHE (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{EH}}{{MH}} = \frac{{HK}}{{EH}}\\
\Rightarrow E{H^2} = MH.HK
\end{array}$
Tương tự có:
ΔEHK ~ ΔMEK (g-g)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{EK}}{{MK}} = \frac{{HK}}{{EK}}\\
\Rightarrow E{K^2} = MK.HK
\end{array}$
c)
Áp dụng t/c đường phân giác trong tam giác ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{MD}}{{ME}} = \frac{{DN}}{{NE}}\\
\Rightarrow \frac{{MD}}{6} = \frac{{DN}}{8} = \frac{{MD + DN}}{{6 + 8}} = \frac{{10}}{{14}} = \frac{5}{7}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MD = \frac{{30}}{7}\left( {cm} \right)\\
DN = \frac{{40}}{7}\left( {cm} \right)
\end{array} \right.\\
d)E{K^2} = MK.HK\\
\Rightarrow HK = \frac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\left( {cm} \right)\\
E{H^2} = MH.HK\\
\Rightarrow EH = \sqrt {\left( {10 - 6,4} \right).6,4} = 4,8\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow {S_{EHK}} = \frac{1}{2}.EH.HK = \frac{1}{2}.4,8.6,4 = 15,36\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
