Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MAN,\Delta MAP$ có:
Chung $AM$

$\widehat{NMA}=\widehat{AMP}$ vì $MA$ là phân giác $\hat M$

$MN=MP$

$\to\Delta AMN=\Delta AMP(c.g.c)$

b.Xét $\Delta AMB,\Delta AMC$ có:

$\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$

Chung $MA$

$\widehat{BMA}=\widehat{AMC}$ vì $MA$ là phân giác $\hat M$

$\to\Delta AMB=\Delta AMC$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AB=AC\to\Delta ABC$ cân tại $A$

c.Từ câu b $\to MB=MC, AB=AC$

$\to M, A\in$ trung trực của $BC$

$\to AM\perp BC$

d.Ta có $BC\perp MA$

            $\Delta MNP$ cân tại $M, MA$ là phân giác $\to MA\perp NP$

$\to BC//NP$

Mà $BD\perp AN\to BD\perp NP\to BD\perp BC$

$\to \Delta EBC$ vuông tại $B$

Mà $MB=MC\to\Delta MBC$ cân tại $M$

$\to \widehat{MBC}=\widehat{MCB}$

$\to 90^o-\widehat{MBC}=90^o-\widehat{MCB}$

$\to \widehat{MBE}=\widehat{MEB}$

$\to\Delta MBE$ cân tại $M$

$\to MB=ME$

$\to ME=MC(=MB)$

$\to M$ là trung điểm $CE$

$\text{a) Vì ΔMNP cân tại M}$ `->` `hat{N}` `=` `hat{P}` $\text{và MN = MP}$

$\text{Xét ΔAMN và ΔAMP, ta có:}$

$\text{MN = MP}$ 

`hat{N}` `=` `hat{P}`

$\text{Chung AM}$

`->` $\text{ΔAMN = ΔAMP (c.g.c)}$

$\text{b) Xét ΔABM và ΔACM, ta có:}$

`hat{M_{1}}` `=` `hat{M_{2}}` $\text{(Vì AM là tia phân giác của}$ `hat{A}`$\text{)}$

`hat{ABM}` `=` `hat{ACM}` `=` $90^{o}$ 

$\text{Chung AM}$

`->` $\text{ΔABM = ΔACM (cạnh huyền - góc nhọn)}$

`->` $\text{AB = AC (2 cạnh tương ứng)}$

`->` $\text{ABC cân tại A}$

$\text{c) Gọi F là giao điểm của AM và BC}$

$\text{Vì ΔABM = ΔACM (đcmt)}$

`->` `MB` `=` `MC` $\text{(2 cạnh tương ứng)}$

$\text{Xét ΔMBF và ΔMCF, ta có:}$

`hat{M_{1}}` `=` `hat{M_{2}}`

$\text{Chung AD}$

`MB` `=` `MC`

`->` $\text{ΔMBF = ΔMCF (c.g.c)}$

`->` `hat{F_{1}}` `=` `hat{F_{2}}` $\text{(2 góc tương ứng)}$

$\text{Mà}$ `hat{F_{1}}` `+` `hat{F_{2}}` `=` $180^{o}$ $\text{(2 góc kề bù)}$

`->` `hat{F_{1}}` `=` `hat{F_{2}}` `=`  $\frac{180^{o}}{2}$ `=` $90^{o}$

`->` $\text{AM ⊥ BC}$

$\text{d) Vì ΔAMN = ΔAMP (đcmt)}$

`->` $\text{MN = MP}$

`->` $\text{ΔNMP cân tại M}$

`->` `hat{N}` `=` `hat{P}`

$\text{Có:}$ `hat{E}` `=` $180^{o}$ `-` `hat{EDP}` `-` `hat{P}`

$\text{Hay:}$ `hat{E}` `=` $180^{o}$ `-` $90^{o}$ `-` `hat{P}`

`hat{NBD}` `=` $180^{o}$ `-` `hat{BDN}` `-` `hat{N}`

$\text{Hay:}$ `hat{NBD}` `=` $180^{o}$ `-` $90^{o}$ `-` `hat{N}`

$\text{Mà}$ `hat{N}` `=` `hat{P}`

`->` `hat{NBD}` `=` `hat{E}` 

$\text{Mà}$ `hat{NBD}` `=` `hat{EBM}` $\text{(2 góc đối đỉnh)}$

`->` `hat{NBD}` `=` `hat{E}` `=` `hat{EBM}`

$\text{Vì}$ `hat{E}` `=` `hat{EBM}`

`->` $\text{ΔBEM cân tại M}$

`->` $\text{EM = MB}$       `(1)`

$\text{Vì ΔMBF = ΔMCF (đcmt)}$

`->` $\text{MB = MC}$       `(2)`

$\text{Từ (1) và (2) suy ra EM = MB = MC}$

$\text{Mà EM + MC = CE}$

`->` $\text{EM = MC =}$ $\frac{CE}{2}$ 

`->` $\text{M là trung điểm của CE}$ 

`_`$\color{darkred}{Selina}$`_`