a, Xét ∆NHM và ∆PKM ta có :
góc M chung
MN=MP (vì ∆ MNP cân tại M)
góc NHM=góc PKM (=90°)
Do đó ∆NHM=∆PKM (cạnh huyền góc nhọn)
⇒MK=MH (2 cạnh tương ứng)
Ta có: MK+KN=MN
MH+HP=MP
mà MP=MN (cmt)
Do đó MK+KN=MH+HP
mà MK=MH(cmt)
suy ra NK=PH (dpcm)
b, Xét ∆MNP ta có:
MK=MH (cmt)
NK=HP (cm a)
suy ra MK/KN=MH/HP
⇒KH // NP (theo ĐL Ta-lét đảo)
Xét tứ giác NKHP có: KH // NP (cmt)
⇒Tứ giác NKHP là hình thang
mà góc KNP= góc HPN (∆MNP cân tại M)
Do đó hình thang NKHP là hình thang cân (dpcm)
c, Kẻ đường cao MQ (Q thuộc NP)
Vì ∆MNP là tam giác cân tại M (gt)
và MP là đường cao của ∆MNP
nên đường cao MP đồng thời là đường trung tuyến
⇒ Q là trung điểm của NP
⇒ NQ = QP = 1/2.NP
mà NP=6 cm (gt)
do đó NQ=QP=1/2.6=3 cm
Xét ∆MQP ta có góc MQP=90° (vì MQ ⊥ NP)
⇒ MP²=QP²+MQ² (theo ĐL Py-ta-go)
hay 5²=3²+MQ²
⇔25=9+MQ²
⇔MQ²=25-9
⇔MQ²=16
⇒MQ=4 cm
S ∆MNP=MQ.NP.1/2=PK.NM.1/2
hay S ∆MNP=4.6.1/2=PK.5.1/2=12=PK.2,5
⇔PK=12/2,5=4,8 cm
Xét ∆PKM có góc PKM=90° (PK⊥NM)
⇒KM²+KP²=MP² (theo ĐL Py-ta-go)
hay KM²+(4,8)²=5²
⇔KM²+23,04=25
⇔KM²=25-23,04
⇔KM²=1,96
⇔KM=1,4 cm
Xét ∆MKH và ∆MNP có :
góc M chung
góc MKH=góc MNP (vì KH//NP)
Do đó ∆MKH ᔕ ∆MNP (g.g)
⇒MK/MN=HK/NP (theo tỉ số đồng dạng)
hay 1,4/5=KH/6
⇒KH=1,4.6/5=1,68 cm (dpcm)
