Lời giải:
a. Gọi K là trung điểm của MP
Ta có: K là trung điểm của MP, Q là trung điểm của NP
Suy ra: KQ là đường trung bình thuộc cạnh MN của tam giác MNP.
⇒ KQ//MN (1)
Lại có: OK//NE (2) (cùng vuông góc với MP)
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat {MNE} = \widehat {OKQ}$ (2 góc thuộc 2 cặp cạnh tương ứng song song)
⇔ $\widehat {MNH} = \widehat {OKQ}$
Chứng minh tương tự: $\widehat {NMH} = \widehat {OQK}$
Xét ΔMNH và ΔQKO có:
$\widehat {MNE} = \widehat {OKQ}$
$\widehat {NME} = \widehat {OQK}$
⇒ Hai tam giác đồng dạng
⇒ ${{MH} \over {OQ}} = {{KQ} \over {MN}} = {1 \over 2}$ (KQ là đường trung bình)
hay MH = 2OQ.
b. Xét tam giác MND vuông tại D có:
$\sin N = {{MD} \over {MN}}$
Xét tam giác MDP vuông tại D có:
$\sin P = {{MD} \over {MP}}$
Khi đó: $\sin N + \sin P = {{MD} \over {MN}} + {{MD} \over {MP}} = MD\left( {{1 \over {MN}} + {1 \over {MP}}} \right) = MD.{{MN + MP} \over {MN.MP}} = {{2.NP.MD} \over {MN.MP}}$ (*)
(Theo giả thiết: MN + MP = 2.NP)
Lại có: ${S_{MNP}} = {1 \over 2}.MD.NP = {1 \over 2}.MN.MP.\sin M$
Thay vào (*) ta được:
$\sin N + \sin P = {{2.2{S_{MNP}}} \over {{{2{S_{MNP}}} \over {\sin M}}}} = 2.\sin M$
(dpcm)
