Đáp án:
a) $\Delta MKA=\Delta MKI$
b) $MK\perp BP$ và IA // BP
c) KP<BP
d) D là trực tâm của $\Delta MNK$
Giải thích các bước giải:
a) Xét $\Delta MKA$ và $\Delta MKI$ có:
$\widehat{MIK}=\widehat{KAM}(=90^{0})$
MK chung
$\widehat{IMK}=\widehat{KMA}$(MK là phân giác của $\widehat{IMA}$)
$\Rightarrow \Delta MKA=\Delta MKI$ (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Xét $\Delta BIK$ và $\Delta AKP$ có:
$\widehat{IKP}=\widehat{AKP}$(đối đỉnh)
IK=KA ($\Delta MKA=\Delta MKI$)
$\widehat{BIK}=\widehat{KIP}(=90^{0})$
$\Rightarrow \Delta BIK=\Delta AKP$
$\Rightarrow AP=IB$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\Delta MIA$ và $\Delta BMP$ có:
$\widehat{BMP}$ chung
$\frac{MA}{MP}=\frac{MI}{MB}$
$\Rightarrow \Delta MIA\sim \Delta BMP$
$\Rightarrow \widehat{IAM}=\widehat{BPM}$
mà hai góc ở vị trí so le trong
$\Rightarrow IA//BP$ (đccm)
$\Delta KIP\sim \Delta KAP$
$\Rightarrow \frac{KI}{KA}=\frac{KB}{KP}$
mà KI=KA (câu a)$\Rightarrow KB=KP$
Ta lại có:
$\widehat{BKG}=\widehat{PKG}$
$\Rightarrow \Delta BKP$ cân tại K
mà KG là phân giác của $\widehat{BKP}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
KG\perp BP\\
MK\perp BP
\end{matrix}\right.$
c) Từ ý b: $\left\{\begin{matrix}
MK\perp BP\\
PI\perp BM (vì \widehat{MIP}=90^{0})
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow K$ là giao điểm của 3 đường cao $\Delta MBP$
Vì KJ là đường cao
$\Rightarrow PI<BP$
$\Rightarrow KP<BP$
d) Ta có:
$\widehat{NKM}+\widehat{IMK}=90^{0}$
$\widehat{IMK}=\widehat{KMD}$
$\Rightarrow \widehat{NKM}+\widehat{IMK}=90^{0}$
mà $\widehat{NMK}+\widehat{KMD}=90^{0}$
$\Rightarrow \widehat{NKM}=\widehat{NMK}$
$\Rightarrow \Delta NMK $cân tại N
Ta có: C là giao điểm hai đường phân giác
$\Rightarrow MC$ là phân giác của $\widehat{MNI}$
Xét $\Delta MNK$ cân tại N có: MC là phân giác $\widehat{MNI}$
$\Rightarrow BI$ là đường cao $\Delta NMK$
$\Delta NMK$ có MI và NC là đường cao và $NC\cap MI={D}$
$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta MNK$
