`a,` Xét `ΔABC` có:
`BD\botAC` $(gt)$
`CE\botAB` $(gt)$
`BD` cắt `CE` tại `H` $(gt)$
`⇒H` là trực tâm `ΔABC`
`⇒AH\botBC`
Mà `HF\botBC` $(gt)$
`⇒AH ≡ HF`
`⇒A, H, F` thẳng hàng
`b,` `BD\botAC` $(gt)$ `⇒\hat{BDA}=\hat{BDC}=90^o`
`CE\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{CEA}=\hat{CEB}=90^o`
Xét `ΔABD` và `ΔACE` có:
`\hat{BDA}=\hat{CEA}=90^o`
`\hat{BAC}`: góc chung
`⇒ΔABD`$\backsim$`ΔACE` `(g.g)`
`⇒\hat{ABD}=\hat{ACE}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{EBH}=\hat{DCH}`
Xét `ΔHBE` và `ΔHCD` có:
`\hat{EBH}=\hat{DCH}` `(cmt)`
`\hat{EHB}=\hat{DHC}` (hai góc đối đỉnh)
`⇒ΔHBE`$\backsim$`ΔHCD` `(g.g)`
`⇒{HE}/{HD}={HB}/{HC}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
`⇒HE.HC=HB.HD`
`c,` `HF\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{HFB}=\hat{HFC}=90^o`
Xét `ΔBFH` và `ΔBDC` có:
`\hat{HFB}=\hat{BDC}=90^o`
`\hat{DBC}`: góc chung
`⇒ΔBFH`$\backsim$`ΔBDC` `(g.g)`
`⇒{BH}/{BC}={BF}/{BD}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
`⇒BH.BD=BF.BC`
Xét `ΔCFH` và `ΔCEB` có:
`\hat{HFC}=\hat{BEC}=90^o`
`\hat{ECB}`: góc chung
`⇒ΔCFH`$\backsim$`ΔCEB` `(g.g)`
`⇒{CH}/{BC}={CF}/{CE}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
`⇒CH.CE=CF.BC`
`⇒BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.BC=BC.(BF+CF)=BC.BC=BC^2`
