a)

Tứ giác $BFHD$ có:

$\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to BFHD$ là tứ giác nội tiếp  ( tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng $180{}^\circ $ )

Tứ giác $BFEC$ có:

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90{}^\circ $

$\to BFEC$ là tứ giác nội tiếp  ( tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh )

b)

Vì $BFHD$ là tứ giác nội tiếp

Nên $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ ( cùng chắn cung $HD$ )

Vì $\Delta BFEC$ là tứ giác nội tiếp

Nên $\widehat{HFE}=\widehat{HBD}$ ( cùng chắn cung $EC$ )

$\to \widehat{HFD}=\widehat{HFE}$

$\to FH$ là tia phân giác $\widehat{EFD}$

Hoàn toàn chứng minh tương tự, ta có:

$EH$ là tia phân giác $\widehat{DEF}$

$DH$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$

$\Delta DEF$ có 3 đường phân giác cắt nhau tại $H$

Nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

c)

$M$ là trung điểm $BC$

$\to OM\bot BC$ ( quan hệ đường kính – dây cung )

Mà $AD\bot BC$

Nên $OM\,\,||\,\,AD$

$\Delta BEC$ vuông tại $E$

Có $EM$ là đường trung tuyến

$\to ME=MB$

$\to \Delta MEB$ cân tại $M$

$\to \widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

Mà $\widehat{MBE}=\widehat{CAD}$ ( cùng phụ $\widehat{BCA}$ )

Nên $\widehat{MEB}=\widehat{CAD}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác:

Do $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ ( cùng chắn cung $FB$ )

Mà $\widehat{FCB}=\widehat{BAD}$ ( cùng phụ $\widehat{ABC}$ )

Nên $\widehat{FEB}=\widehat{BAD}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)\,+\,\left( 2 \right)$, ta được:

$\widehat{MEB}+\widehat{FEB}=\widehat{CAD}+\widehat{BAD}$

$\to \widehat{FEM}=\widehat{BAC}$

Tứ giác $AFHE$ có:

$\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to AFHE$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{BAC}=\widehat{BHF}$

Mà $\widehat{BHF}=\widehat{BDF}$ ( vì $BFHD$ nội tiếp )

Nên $\widehat{BAC}=\widehat{BDF}$

Mà $\widehat{FEM}=\widehat{BAC}$ ( mới chứng minh ở trên )

$\to \widehat{BDF}=\widehat{FEM}$

Vậy $DMEF$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )