ΔAPB ⊥ P, đường cao PF nên: AP² = AF.AB (1)
ΔANC ⊥ N, đường cao NE nên: AN² = AE.AC (2)
Lại có Δ vuông ABE ~ Δ vuông ACF (chung góc A) nên:
$\dfrac{AB}{AE} =\dfrac{ AC}{AF}$
$⇔ AF.AB = AE.AC$ (3)
Từ (1); (2) và (3) ⇒ AN² = AP²
⇔ AN = AP
$\Rightarrow\Delta ANP$ cân đỉnh A.
Tương tự cho các trường hợp kia.