Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Sử dụng: \(\angle A + \angle B = \pi  - \angle C\)\( \Rightarrow \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi  - C} \right)\) sau đó áp dụn công thức cộng để chứng minh được \(P = \tan A + \tan B + \tan C\).
Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\).Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle A + \angle B = \pi  - \angle C\\\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi  - C} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {A + B} \right) =  - \tan C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A.\tan B}} =  - \tan C\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B =  - \tan C\left( {1 - \tan A.\tan B} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan A + \tan B =  - \tan C + \tan A.\tan B.\tan C\\ \Leftrightarrow \tan A.\tan B.\tan C = \tan A + \tan B + \tan C\\ \Rightarrow P = \tan A + \tan B + \tan C\end{array}\)
Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc nhọn nên \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\tan A,\,\,\tan B,\,\,\tan C\) ta được:
\(\begin{array}{l}\tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A.\tan B.\tan C}}\\ \Leftrightarrow \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{P}\\ \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{P}.\sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3\sqrt[3]{P} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{P^2}}} \ge 3 \Leftrightarrow {P^2} \ge 27 \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).
Vậy \(\min P = 3\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow A = B = C = \dfrac{\pi }{3}\).
Chọn C.