Đáp án:
*cách 1: Gọi I là trực tâm của ΔABC
- Xét tứ giác CDIE có ∠CEI = ∠CDI = $90^{o}$
⇒ ∠CEI + ∠CDI = $90^{o}$ + $90^{o}$ = $180^{o}$
Mà ∠CEI và ∠CDI đối nhau nên tứ giác CDIE nội tiếp đường tròn đường kính CI
Hay ΔCDE nội tiếp đường tròn đường kính CI
⇒ bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔCDE bằng $\frac{CI}{2}$
- Kẻ đường kính CC' của (O) ta có ∠C'AC = $90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay C'A ⊥ AC mà BI ⊥ AC nên C'A // BI ( vì cùng ⊥ AC)
chứng minh tương tự ta có C'B // AI
Xét tứ giác AC'BI có C'B // AI và C'A // BI nên tứ giác AC'BI là hình bình hành
Gọi G là trung điểm của AB ⇒ G cũng là trung điểm của C'I (tính chất của hình bình hành)
- Xét ΔIC'C có G là trung điểm của C'I và O là trung điểm của CC'
nên OG là đường trung bình ⇒ OG = $\frac{CI}{2}$
Vì dây AB cố định nên G cố định (vì G là trung điểm của AB) và (O) cố định (GT)
nên OG không đổi hay $\frac{CI}{2}$ không đổi ( vì OG = $\frac{CI}{2}$ - cmt)
Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp Δ CDE không đổi (đpcm)
*cách 2: (hình khác với cách 1)
-Gọi I là trực tâm của ΔABC
- Chứng minh tứ giác CDIE nội tiếp ( như cách 1)
⇒ Bán kính của đường tròn ngoại tiếp ΔCDE bằng $\frac{CI}{2}$ (như cách 1)
Ta có CI ⊥ AB và BI ⊥ AC (vì I là trực tâm của ΔABC)
Kẻ đường kính AK của (O). Vì A cố định và (O) cố định ⇒ K cố định
Mà B cố định nên BK không đổi. ( A,B cố định vì dây AB cố định)
⇒ ∠ABK = ∠ACK = $90^{o}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
hay BK ⊥ AB và CK ⊥ AC
⇒ CI // BK ( vì cùng ⊥ AB) và BI // CK (vì cùng ⊥ AC)
do đó tứ giác BICK là hình bình hành ⇒ CI = BK (không đổi) ⇒$\frac{CI}{2}$ không đổi.
Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp Δ CDE không đổi. (đpcm)
Giải thích các bước giải: đã giải thích lí do rất chi tiết
