Đáp án:
1) Ta cm được ΔIHA = ΔIMA (c-g-c)
=> AH = AM và góc IAH = góc IAM
Tương tự ΔAHK = ΔANK (c-g-c)
=> AH = AN và góc HAK = góc NAK
=> AM = AN
Mà góc IAH + góc HAK = 90 độ
=> góc IAM + góc NAK = 90 độ
=> tổng 4 góc IAM, NAK, HAK, IAH bằng 180 độ
=> góc MAN = 180 độ
=> M,A,N thẳng hàng
=> A là trung điểm của MN
2)
Xét ΔIAH và ΔKHA có:
+ góc AIH = góc HKA = 90 độ
+ AH chung
+ góc IHA = góc KAH (so le trong)
=> ΔIAH = ΔKHA (g-c-g)
=> IH = AK
=> MI = AK
Xét ΔIAK và ΔAIM có:
+ IA chung
+ góc I = góc A vuông
+ IM = AK
=> ΔIAK = ΔAIM (c-g-c)
=> góc KIA = góc MAI
=> IK//AM
hay IK//MN
3)
$\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}AH.BC\\
\Rightarrow AB.AC = AH.BC\\
\Rightarrow A{B^2}.A{C^2} = A{H^2}.B{C^2}\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}\left( {pytago} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\\
Vay\,\dfrac{1}{{A{C^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}}
\end{array}$
4)
$\begin{array}{l}
Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\
\Rightarrow BC = 5\left( {cm} \right)
\end{array}$
Theo t/c đường phân giác ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DH}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{AB}}\\
\dfrac{{HE}}{{AH}} = \dfrac{{EC}}{{AC}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DH}}{{2,4}} = \dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{DH + BD}}{{2,4 + 3}} = \dfrac{{BH}}{{5,4}} = \dfrac{1}{3}\\
\dfrac{{HE}}{{2,4}} = \dfrac{{EC}}{4} = \dfrac{{HE + EC}}{{6,4}} = \dfrac{{HC}}{{6,4}} = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DH = 0,8\\
HE = 1,2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow DE = DH + DE = 2\left( {cm} \right)
\end{array}$
