Trước hết , ta chứng minh 2 số cùng số dư khi chia cho 7 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 7 .
Vì 8 số đó chia 7 sẽ có 7 loại số dư là : 0, 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 nên sẽ có 2 số khi chia có 7 có cùng số dư . Gọi 2 số có cùng số dư là : a và b .
Giả sử : a = 7m + x ; b = 7m + y và a > b .
Ta có : a - b = ( 7m + x ) - ( 7m + y ) = 7 . ( m - n )
Mà trong 8 số có 3 chữ số , nếu có 2 số abc > def có cùng số dư thì abc - def ⋮ 7
Lại có: abcdef= 1000 . abc + def = 1001 . abc - abc + def = 1001 . abc - ( abc - def )
Mà 1001 ⋮ 7 ⇒ 1001 . abc ⋮ 7 ; abc - def ⋮ 7⇒ 1001 . abc - ( abc - def ) ⋮ 7
Vậy , trong tám số tự nhiên có 3 chữ số thì trong tám số đó tồn tại hai số mà viết liên tiếp nhau thì tạp thành một số có sáu chữ số chia hết cho 7 ( Điều phải chứng minh )
