$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba nên $\sin\alpha<0, \cos\alpha<0, tan\alpha>0, \cot\alpha>0$
$\tan\alpha-6\cot\alpha-5=0$
$\to \tan^2\alpha-5\tan\alpha-6=0$
$\to \tan\alpha=6$ (TM); $\tan\alpha=-1$ (loại)
$\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha$
$\to \cos\alpha=\dfrac{-1}{\sqrt{37}}$
$\to \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{-6}{\sqrt{37}}$
Vậy $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{-7}{\sqrt{37}}$