Cho tập \(A = \left\{ {2;5} \right\}\). Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có \(10\) chữ số sao cho không có chữ số \(2\) nào đứng cạnh nhau? A.\(144\) số B.\(143\) số C.\(1024\) số D.\(512\) số
Phương pháp giải: Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp chữ số \(5\) trước để tạo ra các vách ngăn sau đó xếp các chữ số \(2\) vào các vách ngăn đó Giải chi tiết:TH1: Có \(10\) chữ số \(5\): Chỉ có duy nhất \(1\) số. TH2: Có \(9\) chữ số \(5\) và \(1\) chữ số \(2\). Xếp \(9\) chữ số \(5\) thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số. TH3: Có \(8\) chữ số \(5\) và \(2\) chữ số \(2\). Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào \(9\) vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\) cách. Vậy trường hợp này có 36 số. TH4: Có \(7\) chữ số \(5\) và \(3\) chữ số \(2\) . Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\) cách. Vậy trường hợp này có 56 số. TH5: Có \(6\) chữ số \(5\) và \(4\) chữ số \(2\) . Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\) cách. Vậy trường hợp này có 35 số. TH6: Có \(5\) chữ số \(5\) và \(5\) chữ số \(2\). Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\) cách. Vậy trường hợp này có 6 số. Theo quy tắc cộng ta có tất cả: \(1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144\) số. Chọn A.